Leonardo Pisano et la Suite de Fibonacci.

21 Janvier 2009

Photo : spiral de Fibonacci, pas d'auteur connu, Wikimedia Commons, licence : domaine public.

Qui était Leonardo Pisano ?

Leonardo Pisano (Léonard de Pise) est un mathématicien italien né à Pise vers 1175 (mort vers 1250).

Le nom de Fibonacci , sous lequel il est connu de nos jours, correspond à l'expression « fils de Bonacci ».

Leonardo Pisano a vécu en Afrique du Nord où son père Guilielmo Bonacci était représentant de marchands toscans.

Leonardo Pisano commence son éducation mathématique à Béjaïa, grand centre intellectuel où résidaient les sommités scientifiques de l'époque.

De cette période d'apprentissage, Leonardo Pisano rapporte en Europe les chiffres arabes et la notation algébrique moderne, alors inconnue.

En 1202, il publie « Le livre des Calculs » (Liber Abaci), traité révolutionnaire qui introduit le calcul décimal dans une société où les chiffres romains étaient les seuls utilisés.

Malheureusement, il faudra plusieurs siècles pour que ce nouveau système de notation entre pleinement dans les mœurs.

Ses idées trop novatrices lui valurent une certaine méfiance de la part de ses contemporains.

Qu'est ce que la suite de Fibonacci ?

Leonardo Pisano est surtout connu de nos jours pour sa célèbre suite mathématique dite « suite de Fibonacci ».

Dans son ouvrage « Le livre des Calculs » (Liber Abaci), il propose un problème basé sur la croissance d'une population de lapins :

« Possédant initialement un couple de lapins, combien de couples obtient-on en douze mois si chaque couple engendre tous les mois un nouveau couple à compter du second mois de son existence ? »

Pour bien comprendre sa démonstration, il faut admettre que :

- il y a juste une paire de lapereaux le premier mois.

- nos lapereaux ne sont aptes à se reproduire qu'à partir du deuxième mois.

- toute paire de lapereaux aptes à se reproduire engendre une nouvelle paire de lapereaux qui ne sera aptes à procréer qu'à son deuxième mois d'existence.

- nos lapins sont immortels.

La suite de Fibonacci se note ainsi :

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, ...

Le premier mois, nous commençons avec 0 lapin.

Puis au deuxième mois, nous avons un couple de lapin = 1

Nous devons patienter pour que ce couple puisse se reproduire = 1

A deux mois révolus, donc au début du troisième mois, notre couple de lapins engendre un nouveau couple de lapins = 2

La suite donne donc, mois après mois, le nombre de couples de lapins dont nous allons disposer. Pour se faire, il suffit d'additionner de couples des deux mois précédents pour obtenir le nombre du mois suivants.

Exemple : 21 couples à un mois donné + 34 couples le mois suivants donnent 55 couples le mois d'après et ainsi de suite...

Donc, chaque terme de la suite est la somme des deux termes précédents.

Afin obtenir chacun de ces deux termes, il faut faire la somme de leurs termes précédents. Nous pouvons ainsi remonter jusqu'aux termes initiaux.

Quelles utilités à la Suite de Fibonacci ?

La suite de Fibonacci apparaît dans de nombreux problèmes de mathématique et a permis de résoudre un certain nombre de questions :

- comment définir une cadence? Par exemple: définir la cadence lorsqu'on désire parcourir un chemin en effectuant un ou deux pas.

- elle est utilisée dans l'algorithme d'Euclide (comment déterminer le plus grand commun diviseur - P.G.C.D.- de deux nombres entiers).

- elle a permis de «résoudre» le «dixième problème d'Hilbert»: il s'agit de la définition d'un algorithme mythique. Le mathématicien Matiyasevic démontra en 1970, avec l'aide de la suite de Fibonacci, que cet algorithme ne pouvait admettre de solution.

- la suite apparaît également dans le principe du « triangle de Pascal».

Ce triangle se construit de la manière suivante :

- tracez un triangle.
- écrivez le chiffre 1 à son sommet, puis 1 et 1 en dessous, de part et d'autre.
Toutes les extrémités des lignes sont toujours des 1.
- les autres nombres sont la somme des deux nombres directement écrits au dessus.

- la suite de Fibonacci permet également d'effectuer facilement la conversion des miles en kilomètres.

- les nombres de Fibonacci apparaissent très souvent dans la nature sous forme de spirale logarithmique. La meilleure illustration est la «construction» des tournesols, des pommes de pins, des coquilles...

- enfin, la suite de Fibonacci se retrouve dans le fameux Nombre d'Or. Schématiquement, il exprime les proportions parfaites de ce qui nous entoure : nature, créations humaines artistiques, musicales, architecturales...

- personnellement (ça n'engage que moi ) j'adore poursuivre mentalement la suite vers l'infini surtout lors de situations de longues attentes. Ça occupe et c'est moi lobotomisant que de lire le vieux Paris Match de 2004 dans la salle d'attente du docteur!

Vous trouverez, sur Wikipédia, les démonstrations mathématiques de la suite de Fibonacci.

Pour conclure, Leonard Pisano apparaît comme un personnage remarquable de l'humanité.

Point de jonction entre la culture scientifique occidentale et orientale, il a été à l'origine de l'introduction d'un autre mode de calcul et a laissé à la postérité, par sa suite de nombres, une des clés explicatives de notre monde.

J'espère que ce petit voyage aux côtés de Fibonacci a été plaisant et vous a donné envie d'en savoir plus...